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一次函数应用

今天我们来学习一次函数的有关知识。

一次函数是函数中的一种，一般形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），其中x是自变量，y是因变量。

当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x得正比例函数。

一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。”

一、一次函数的形象描述。

我们知道，路程=时间*速度，假设路程是y，速度是k,时间是x，那么可得y=kx，这个就是基本一次函数形式。

如下图，一段公路长y公里，车速为匀速k，车长为b，开到路的另一头时间是x。

上半图是车头刚刚接触路顶端，开到路的另一端，那么时间与路程的关系就是：y=kx。

下半图是车尾刚刚接触路顶端，开到路的另一端，那么时间与路程的关系就是：y=kx+b。

由上图可知，在车速不变的情况下，车辆行驶的路程与形式的时间成一定的比例关系，在每一个时间段都有一定长度的路程与之相对应。我们将y=kx称之为正比例函数，它是一次函数的一种特殊形式。

二、一次函数图形与系数之间的关系

上图是一次函数常数项k、b决定了函数的走向形式。这一个关系大家要记牢！在很多题型中告诉你函数直线经过的象限来求k、b的正负，也可以通过k、b的正负来判断经过的象限。当然，在实际题型中会有很多弯弯道，不会直接这样告诉你，都是拐弯抹角的告诉你一些条件，万变不离其宗，一点点分析就会求得结果。所以，我们一定要牢记这些个基本的知识点。基础打牢了就什么都不怕了，也为日后考试赢得宝贵的时间。

我们来看一道题

已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线经过哪几个象限？

分析：

（1）∵kb=6∴k、b为同号，又∵k+b=﹣5，∴k﹤0，b﹤0

（2）∵b﹤0，∴一次函数y=kx+b的图像与y轴交于负半轴，在y轴的负半轴上描一点。

（3）再由k﹤0，所以过（2）中描的那一点画一条从左向右下降的直线。如图所示：

所以，该直线经过二、三、四象限。

三、基本知识练习

1、说出下列函数中，哪些是一次函数？

(1)y=-3X+7（是）

(2)y=6X^2-3X（不是）

(3)y=8X（是，而且是正比例函数）

(4)y=1+9X（是）

(5)y=-8/x(不是，是反比例函数)

（6）y=-0.5x-1（是）

2、要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数，n，m应满足：n=2，m≠2。

3、已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时，y是x的一次函数？当m取什么值时，y是x的正比例函数？

解答：

（1）因为y是x的一次函数，所以m+1≠0，m≠-1。

（2）因为y是x的正比例函数，所以m2-1=0，m=1或-1。

又因为m≠-1所以m=1。

4、已知函数y＝(k－2)x＋2k＋1,若它是一次函数,求k的取值范围;若它是正比例函数,求k的值.

解答：

若y＝(k－2)x＋2k＋1是一次函数，则k－2≠0,即k≠2。

若y＝(k－2)x＋2k＋1是正比例函数，则(1)、k－2≠0，(2)、2k＋1＝0，解得：k=-1/2。

5、已知y与x－3成正比例,当x＝4时,y＝3。

(1)写出y与x之间的函数关系式;

(2)y与x之间是什么函数关系式;

(3)求x＝2.5时,y的值；

解答：

(1)∵y与x－3成正比例，∴可设y＝k(x－3)(k≠0)

又∵当x＝4时,y＝3，∴3＝k(4－3)，解得k＝3。

∴y＝3(x－3)＝3x－9。

(2)y是x的一次函数;

(3)当x＝2.5时,y＝3×2.5－9＝－1.5。

四、实际应用题

、小强从家开车去上海，上了高速后假使汽车的平均速度是95千米/时，已知从上高速算起直达北京的公路全程千米，小强想知道距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系？

分析：我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化.要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值。显然，应该探究这两个量之间的变化规律.为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，则不难得到s与t的函数关系式是：s＝-95t。

、已知A、B两地相距30千米,B、C两地相距48千米,某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发,经过B地到达C地.设此人骑车时间为x(时)离B地距离为y(千米)。

(1)当此人在A、B两地之间时,求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;

(2)当此人在B、C两地之间时,求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围;

解答：

(1)y＝30－12x，(0≤x≤2.5)

(2)y＝12x－30，(2.5≤x≤6.5)

、某油库有一没储油的储油罐,在开始的8分钟内,只开进油管,不开出油管,油罐进油至24吨后,将进油管和出油管同时打开16分钟,油罐中的油从24吨增至40吨.随后又关闭进油管,只开出油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变。写出这段时间内油罐的储油量y(吨)与进出油时间x(分)的函数式及相应的x取值范围。

解答：

(1)在第一阶段：(0≤x≤8)，24/8=3，∴y＝3x(0≤x≤8)。

(2)在第二阶段：(8≤x≤8＋16)，设每分钟放出油m吨

则：16×3－16m＝40－24，解得m=2。

∴y＝24＋(3－2)(x－8)

即y＝16＋x，(8≤x≤24)。

(3)在第三阶段：40÷2＝20，24＋20＝44，∴y＝40-2(x－24)

即y＝-2x+88，(24≤x≤44)。

、为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：

经预算，该企业购买设备的资金不高于万元。

（1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案；

（2）若企业每月产生的污水量为吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案；

（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）

解答：

（1）购买污水处理设备A型台，则B型台，由题意知：

∵≤，∴≤2.5，又∵是非负整数，∴可取0、1、2

∴有三种购买方案：①购A型0台，B型10台；②购A型1台，B型9台；③购A型2台，B型8台；

（2）由题意得≥，解得≥1，∴为1或2

∵由得k=20，y随的增大而增大，为了节约资金，应选购A型1台，B型9台。

（3）10年企业自己处理污水的总资金为：＋10×10＝（万元）

若将污水排到污水厂处理，10年所需费用为：

×12×10×10＝（元）＝.8（万元）

∵.8－＝42.8（万元），∴能节约资金42.8万元。

、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10．已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为元和元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为元和元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为元和元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

解答：

（1）从A市、B市各调x台到D市，则从C市可调18-2x台到D市，从A市调10-x台到E市，从B市调10-x台到E市，从C市调8-（18-2x）=2x-10台到E市，其中每一次调动都需要大于或等于0，可知x的取值范围为5≤x≤9。

∴W=x+x+（18-2x）+（10-x）+（10-x）+（2x-10）=-x+17

可知：k=-＜0。

当x=5时，W=13，∴W最大为13元。

当x=9时，W=，W最小为元。

（2）当从A市调x台到D市，B市调y台到D市，可知从C市调18-x-y到D市，从A市调10-x台到E市，从B市调10-y台到E市，从C市调8-(18-x-y)=x+y-10台到E市。

可得：10≤x+y≤18，0≤x≤10，0≤y≤10。

可知：

W=x+y+（18-x-y）+（10-x）+（10-y）+（x+y-10）

=-x-y+17

=-（x+y）-x+17。

当x+y=10，x=0时，W=14，W最大为14。

当x+y=18，x=10时，W=9，W最小为9。

解得：（1）13，，（2）14，9。

、某县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．

(1)设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围。

(2)设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案。

解：

（1）由题得：2.2x+2.1y+2（30-x-y）=64，

所以y=-2x+40，又x≥4，y≥4，30-x-y≥4，得14≤x≤18；

（2）Q=6x+8y+5（30-x-y）=-5x+，

Q随着x的减小而增大，又14≤x≤18，所以当x=14时，Q取得最大值，

即Q=-5x+=（百元）=2万元，

因此，当x=14时，y=-2x+40=12，30-x-y=4，

所以，应这样安排：A种水果用14辆车，B种水果用12辆车，C种水果用4辆车。

、一次时装表演会预算中票价定位每张元，容纳观众人数不超过0人，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过0人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费0元（不列入成本费用）请解答下列问题：

⑴、求当观众人数不超过0人时，毛利润y（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式和成本费用s（百元）关于观众人数x（百人）的函数解析式；

⑵、若要使这次表演会获得元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？

（注：当观众人数不超过0人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过0人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）。

解答：

⑴、由图象可知：当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析y=kx-，

∵（10，）在y=kx-上，∴=10k-，解得k=50

∴y=50x-，s=x-(50x-)，∴s=50x+。

⑵、当10x≤20时，设y关于x的函数解析式为y=mx+b，

∵（10，），（20，）在y=mx+b上，∴

(1)10m+b=,(2)20m+b=,由(1)(2)，解得：m=50，b=-

∴y=50x-∴s=x-(50x-)-50，∴s=50x+

所以：(1)y=50x-(0≤x≤10)，(2)y=50x-(10x≤20)

令y=当0≤x≤10时，50x-=

解得x=9.2

s=50x+=50×9.2+=当10x≤20时，50x-=

解得x=10.2s=50x+=50×10.2+=。

要使这次表演会获得元的毛利润.要售出张或0张门票，相应支付的成本费用分别为00元或60元。

、甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：

⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A处，求A点距山顶的距离；

⑶在⑵的条件下，设乙同学从A点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B处与乙同学相遇，此时点B与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？

解答：

、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：

⑴、乙队开挖到30m时，用了多少h，开挖6h时甲队比乙队多挖了多少m；

⑵、请你求出：

①甲队在的时段内，与之间的函数关系式；

②乙队在的时段内，与之间的函数关系式；

⑶、当为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？

解答：

、

小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：

请根据图2中给出的信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球量桶中水面升高___________；

（2）求放入小球后量桶中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？

解答：

、元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：

（1）把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图3的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？

解答：

、某工厂现有甲种原料kg，乙种原料kg，计划用这两种原料生产两种产品50件，已知生产一件产品需甲种原料7kg、乙种原料3kg，可获利元；生产一件产品需甲种原料3kg，乙种原料5kg，可获利元。（1）请问工厂有哪几种生产方案？

（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？

解答：